Учебник по дискретной математике

Оглавление
n1.doc (26 стр.)
Скачать
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   26

1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :


  1. , ;

  2. ,

  3. , ;

  4. , ;

  5. , ;

  6. , ;

  7. , ;

  8. , ;

  9. , ;

  10. , .

Ответы: 2), 6), 9), 10) – эквивалентны; 3), 7) – не эквивалентны.

2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:


  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. .


3. Используя приведенные выше основные эквивалентности и соотношения докажите эквивалентность формул V и U:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы:

4) ;

9)

4. Используя непосредственно определение двойственности булевых функций, а также основные эквивалентности и соотношения, выясните, является ли функция g двойственной к функции f:

1), ;

2) , ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), ;

11), ;

12), .

Ответы: 4), . Значит, g не двойственна к f. 6) – не является; 8),9),11) – является.
5. Используя принцип двойственности, постройте формулу, реализующую функцию, двойственную к функции f, и убедитесь в том, что полученная формула эквивалентна формуле V:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .
Ответы:

1)

2); 5); 10).
6. Указать все фиктивные переменные у функции f:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответы:1)две фиктивные переменные; 3)одна фиктивная переменная; 5)фиктивные переменные x1 и x3.
7. Показать, что x1 – фиктивная переменная у функции f (реализовав для этой цели функцию f формулой, не содержащей явно переменную x1):

1);

2);

3);

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

Ответы: 4),8),10) 9)
8. Выяснить, можно ли из функции f , отождествляя и переименовывая в ней переменные, получить функцию g:

1),

2),

3),

4),

5),

6),

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы: 1),2),5),7),8),9),10)можно. 3),4),6)нельзя.


9. Представить в СДНФ следующие функции:

1);

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы: 2); 4), 7)
10. Представить в СКНФ следующие функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы: 1); 2); 6) ; 8)
11. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции

:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

4)

10)
12. Используя эквивалентные преобразования, построить КНФ функции

:

1)

2);

3)

4)

5)

6)

7)

Ответы:

1)

3)

6)
13. Применяя преобразования вида ипостроить из заданной ДНФ функции ее совершенную ДНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

2)

5)
14. С помощью преобразований вида и построить из данной КНФ функции ее совершенную КНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

1)

5)
15. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной КНФ функции к ДНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответы:

3)

6)

16. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной ДНФ функции к ее КНФ:



2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

2)

5)
17. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

1) 3) 6)

10)
18. Методом треугольника Паскаля построить полином Жегалкина для этой функции, если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Ответы:

1) 4) 7)
19. Представив функцию формулой над множеством связок {&, }, преобразуйте полученную формулу в полином Жегалкина функции (используя эквивалентности ):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

1)

3)

9)
20. Построить множество всех функций, зависящих от переменных x1,x2 и принадлежащих замыканию множества А:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3)

4) 5) 6)
21. Покажите, что , выразив формулой над множеством А:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
22. Выписать все попарно неконгруэнтные функции , принадлежащие замыканию множества А:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)
23. Из полной для класса [A] системы выделить базис:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8) 9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)
24. Сведением к заведомо полным системам в P2 показать, что множество А является полной системой в P2:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)




Ответы: 1)система является полной в P2, поскольку всякая может быть представлена в виде ДНФ или КНФ. С другой стороны,

2) имеем Система полна, поскольку

3) имеем ;

4) имеем ;

5) имеем ;
25. Выяснить, является ли функция f самодвойственной:

1)

3)

5)

7)

2)

4)

6)

8)

9)

11)

13)

15)

10)

12) 14)




Ответы: 1),3),4),8),10) – является; 2),5),6),7),9) – не является.
26. Выяснить, является ли самодвойственной функция f, заданная векторно:

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

15)
2)

4)

6)

8)

10)

12)

14)



Ответы: 1),3),5),6),7),8) – является; 2),4),9),10) – не является.
27. Выяснить, является ли множество А самодвойственным:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),5-7),10) – является; 2),4),8),9) – не является.
28. Представив функцию f полиномом, выяснить, является ли она линейной:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 2),3),5),6),8),9)–является. 1),4),7),10)–не является.
29. Выяснить, является ли линейной функция f, заданная векторно:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),4),5),7),8),9),10) – является; 2),6) – не является.
30. Доказать, что система А полна в L. Выяснить, является ли система A базисом в L:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1)с помощью суперпозиции из функции можно получить любую функцию вида , путем подстановки 1-любую функцию вида Система А является базисом;

2),3),4),5),7),8),9) – является; 6),10) – не является.
31. Выяснить, принадлежит ли функция f множеству T1\T0:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы: 1),3),4),6),8),9) – является; 2),5),7),10) – не является.
32. Подсчитать число функций, зависящих от переменных x1,…,xn и принадлежащих множеству А:

1);

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

Ответы: 1); 2); 3)22n; 4); 5) 6)2n; 7); 8); 9); 10); 15) 0.
33. Доказать, что:





Указание: если то если то
34. Выяснить, является ли множество А базисом в классе К:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)




Ответы: 1)да. Имеем ;

2) А не является базисом в T1,так как ;

  1. А не является базисом в T1,так как ;

  2. А не является базисом в T1,так как ;

  3. А не является базисом в T1,так как ;

  4. А – базис в .

Портфель ученика
© lib.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации